1.2 Derivadas parciales.

En matemáticas, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Donde  es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud  es función de diversas variables (x, y, z), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función  en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Introducción

Supongamos que  es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso;

Un gráfico de z = x² + xy + y². Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x.

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.

Este es un corte del gráfico de la derecha donde y = 1.

Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:

en el punto (1, 1, 3), o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."

Derivada_parcial.

1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables.

Cálculo de los Máximos y Mínimos de una Función de dos Variables

Valor Máximo Relativo

Es el punto en que la derivada de una función se anula y cambia su valor de positivo a negativo. Es decir la función pasa de creciente a decreciente.

                                                 

Valor Mínimo Relativo

Es el punto en que la derivada de una función se anula y cambia su valor de negativo a positivo. Es decir la función pasa de decreciente a creciente.

Máximos_mínimos.

1.4 Aplicaciones: Optimización de funciones de dos variables que representen gastos, ingresos o utilidad.

Función de Costo Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma Costo = Costo variable + Costo fijo en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma C(x) = mx + b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

Ejemplo El costo diario a su compañía de imprimir x novelos ciencia ficción en rústica es C(x) = 3.50x + 1200 dólares. Note que C es medido en dólares, y x es medido en libros (novelos ciencia ficción en rústica, más precisamente). El costo marginal es m = 3.5, y el costo fijo es b = 1200.

Función de ingreso El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función lineal(x) = mx y el precio de venta m se puede también llamar ingreso marginal.

Ejemplo Suponga que su casa editorial vende libros ciencia ficción rústicos a una detallisa para $6.50 por libro. Entonces I(x) = 6.50x dolares. El ingreso marginal es m = $6.50 por libro.

Función utilidad La utilidad es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad marginal. La utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la siguiente formula: Utilidad = Ingreso − Costo U = I − C Si la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida (de $500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir tablas quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta forma, equilibrio ocurre cuando U = 0, o I = C Equilibrio El puno equilibrio es el número de artículos x a lo cual presenta el equilibrio.

Ejemplo Si regresamos al ejemplo de las novelas ciencia ficción, ya tenemos las funciones costo y ingreso: C(x) = 3.50x + 1200 dollars. Costo diario de imprimir x libros I(x) = 6.50x dollars. Ingresos por la venta de x libros

Funciones de dos variables, que representan gastos, ingresos o utilidad.