Matemáticas II: 4.2.1 Tipos de matrices (cuadrada, rectangular, triangular, matriz identidad, matriz transpuesta).

domingo, 22 de noviembre de 2015

4.2.1 Tipos de matrices (cuadrada, rectangular, triangular, matriz identidad, matriz transpuesta).

Matriz cuadrada.

Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplos de matriz cuadrada:

Puede ser una matriz con valores $A\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})$

$A = \begin{bmatrix} +4 & +7 & -9 \\ +2 & +1 & +7 \\ -5 & +6 & +9 \end{bmatrix}$

O también una matriz con subíndices (Genérica) $B\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})$

$B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix}$

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables $C\in\mathcal{M}_{4\times 4}(\mathbb{R})$

$C = \begin{bmatrix} +7 & +6 & 6 & -5\\ +8 & (3*w) & +3 & -1\\ -1 & +6 & (w+8) & +8\\ -3& (6-w) & 0 & -6 \end{bmatrix}$

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos $aii$ .

Se llama diagonal secundaria a la diagonal del cuadrado que no es la principal, tiene por extremos los elementos $a_{1,n}$ y $a_{n,1}$ , como características, todos los elementos tienen la particularidad que sus subíndices suman (n+1), por ejemplo $a_{8, n-7}$ , donde 8 + (n - 7 ) = n + 1.

Matriz Rectangular.

Es aquella matriz que no es cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de la cantidad de columnas.
Puede ser de dos formas; vertical u horizontal.

Matriz Triangular superior.

Se dice que una matriz (cuadrada) es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz Triangular inferior.

Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz Identidad.

Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.

$I_3\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})$

$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}$

La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada.

Matriz Traspuesta.

Matriz traspuesta (At). Se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.

Para una matriz $A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ , se define la matriz transpuesta de $A=(a_{ij})$ , denotada por $A^t \in M_{n\times m}(\mathbb{R})$ , como $A^t=B=(b_{ij}) \quad b_{ji}=a_{ij} \quad \forall i \in \{1,2,\dots,m\} \text{ , } j \in \{1,2,\dots,n\}$ . Es decir, las filas de la matriz $A$ corresponden a las columnas de $B$ y viceversa.