En matemática, la
integración de una función no negativa, en el caso más simple, puede ser mirada
como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x.
La Integral de Lebesgue
es una construcción matemática que extiende el concepto de integración a una
clase mucho más amplia de funciones, así como extiende los posibles dominios en
las cuales estas integrales pueden ser definidas. Hace mucho que se sabe que
para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como una
función continua en intervalos cerrados) el área bajo la curva podía ser
definida como la integral y calculada usando técnicas de aproximación de la
región a través de rectángulos o polígonos. De todas maneras, como se
necesitaba considerar funciones más irregulares (por ejemplo, como resultado de
los limitados procesos del Cálculo o de la Teoría de Probabilidades), se hizo
evidente que una aproximación más cuidadosa era necesaria para definir una
integral que se ajustara a dichos problemas.
La integral de Lebesgue
tiene un importante rol en el Análisis Real, y en muchas otras ramas de la
Matemática. Su nombre es en honor a su creador, Henri Lebesgue (1875–1941).
La integral de una función f
entre los límites de integración a y b pueden ser interpretados como el área
bajo la gráfica de f. Esto es fácil de entender para funciones que nos son
familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica, pero… ¿qué quiere
decir para funciones un poco más exóticas o con comportamiento errático? En general,
¿cuál es la clase de funciones para las cuales el concepto de “área bajo la
curva” tiene sentido? La respuesta a esta interrogante tiene importancia
teórica y práctica fundamental.
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