Se dice que dos sistemas de
ecuaciones lineales son equivalentes cuando
tienen las mismas soluciones,
es decir, toda solución del primero lo es también del segundo y,
recíprocamente, cada solución del segundo es también solución del primero.
Conviene destacar que dos
sistemas de ecuaciones equivalentes no tienen que tener el mismo número de
ecuaciones, aunque si es necesario que tengan el mismo número de incógnitas.
Criterio
1: Si se multiplican o dividen los dos miembros
de una ecuación de un sistema por un número real distinto de cero, se obtiene
otro sistema equivalente al inicial.
Ejemplo:
Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero
(azul) al segundo (rojo), multiplicamos la primera ecuación por 3, la
segunda ecuación por 2 y la tercera por -1.
Criterio
2: Si a una ecuación de un sistema se le suma o
resta otra ecuación del mismo, se obtiene otro sistema equivalente al inicial.
Ejemplo:
Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero
(azul) al segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera.
Criterio
3 (fusión
de los anteriores): Si a una ecuación de un sistema se le suma o
resta otra ecuación del mismo, multiplicada por un número real distinto de
cero, se obtiene otro sistema equivalente al dado.
Ejemplo:
Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero
(azul) al segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera
multiplicada por 3 y a la tercera ecuación le restamos la primera
multiplicada por 2.
Criterio
4: Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es proporcional a
otra o es combinación lineal de otras, se puede suprimir y el sistema obtenido
es equivalente al inicial.
Por lo tanto, antes de
discutir o resolver un sistema de ecuaciones lineales, es conveniente suprimir
las ecuaciones superfluas que se puedan identificar fácilmente, como, por
ejemplo:
- Las ecuaciones proporcionales
- Las ecuaciones nulas
- Las ecuaciones que sean combinación
lineal de otras.
Ejemplo:
Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la tercera ecuación,
que era proporcional a la primera (la tercera ecuación es igual a la primera
ecuación multiplicada por 3).
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