En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada
así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo
del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se
resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la
reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene
una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de
coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan
continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.
Antecedentes
El método de eliminación de
Gauss aparece en el capítulo ocho del importante texto matemático chino Jiuzhang suanshu o Los
nueve capítulos sobre el arte matemático. Su uso se ilustra en dieciocho
problemas, con de dos a cinco ecuaciones. La primera referencia al libro por
este título data del 179 DC, pero algunas de sus partes fueron escritas
tan pronto como alrededor del 150 a. C. Fue comentado por Liu Hui en el
siglo tercero.
Análisis de su complejidad
La complejidad computacional
de la eliminación gaussiana es de aproximadamente n3.
Esto es, el número de operaciones requeridas es del orden de n3 si
el tamaño de la matriz es n × n.
Algoritmo de eliminación de
Gauss-Jordan
1. Ir a
la columna no cero extrema izquierda
2. Si
el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no
lo tenga.
3. Luego,
obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados
del renglón superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir
el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante.
Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en
forma escalonada).
5. Comenzando
con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener
un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos
correspondientes a los renglones correspondientes.
Una variante interesante de
la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido
al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo
los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así
para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada
reducida.
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