4.2 Álgebra De Matrices.

La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos: Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j. Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero. Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas: A+(B+C) = (A+B)+C Regla asociativa de adición A+B = B+A Regla conmutativa de adición A+O = O+A = A Regla unidad de adición A+( - A) = O = ( - A)+A Regla inversa de adición c(A+B) = cA+cB Regla distributiva (c+d)A = cA+dA Regla distributiva 1A = A Unidad escalar 0A = O Cero escalar A(BC) = (AB)C Regla asociativa de multiplicación AI = IA = A Regla unidad de multiplicación A(B+C) = AB + AC Regla distributiva (A+B)C = AC + BC Regla distributiva OA = AO = O Multiplicación por matriz cero (A+B)T = AT + BT Trasposición de una suma (cA)T = c(AT) Trasposición de un producto escalar (AB)T = BTAT Trasposición de un producto matriz La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.

Ejemplos La siguiente es la matriz unidad de orden 4×4: I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 El fallo de la regla conmutativa para el producto entre matrices se muestra por el siguiente ejemplo: A = 0 1 1/3 -1 B = 1 -1 2/3 -2 AB = 2/3 -2 -1/3 5/3 BA = -1/3 2 -2/3 8/3

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