2.3.6 Integral de una suma (diferencia) de funciones.

Integral definida como suma.

Si u es una función de x, podremos utilizar la próxima formula para evaluar una integral:

Suma de Riemann

Si f es una función continua, la suma izquierda de Riemann con n subdivisiones iguales para f sobre el intervalo [a, b] se define como sigue.

Primero, se hace una partición del intervalo [a, b] en n partes iguales:

Δx = (b-a)/n,
x₀ = a,
x₁ = a + Δx,
x₂ = a + 2Δx,
...
x_n = a + nΔx = b

Luego, se suma los n productos f(x₀)Δx, f(x₁)Δx, f(x₂)Δx, ..., f(x_n -1)Δx, para obtener la suma de Riemann.

Entonces,

Suma (izquierda) de Riemann	=	n-1 n = 0 f(xk)Δx
	=	f(x0)Δx + f(x1)Δx + ... + f(xn -1)Δx
	=	[f(x0) + f(x1) + ... + f(xn -1)]Δx

La suma izquierda de Riemann da el área visto más abajo.

Ejemplos

Déjenos calcular la suma de Riemann para la integral _-1¹(x²+1) dx usando n = 5 subdivisiones.

Primero, para calcular las subdivisiones:

Δx = (b-a)/n = (1-(-1)/4 = 0.4.
x₀ = a = -1
x₁ = a + Δx = -1 + 0.4 = 0.6
x₂ = a + 2Δx = -1 + 2(0.4) = 0.2
x₃ = a + 3Δx = -1 + 3(0.4) = 0.2
x₄ = a + 4Δx = -1 + 4(0.4) = 0.6
x₅ = b = 1

La suma de Riemann que buscamos es

f(x₀)Δx + f(x₁)Δx + ... + f(x₄)Δx
  = [f(-1) + f(-0.6) + f(-0.2) + f(0.2) + f(0.6)]0.4

Podemos organizar esta calculación dentro de una tabla como sigue:

x	-1	-0.6	-0.2	0.2	0.6	Total
f(x) = x2+1	2	1.36	1.04	1.04	1.36	6.8

La suma de Riemann es, entonces,

6.8Δx = 6.80.4 = 2.72.
 

Para obtener una buen aproximación de la integral, debemos utilizar un número de subdivisiones mucho más grande que 5, y tecnología es necesario para esta tarea. Puede calcular sumas de Riemann en línea con la utilidad de integración.

Si tiene usted Excel y quiere ver una representación visual de las sumas de Riemann como el dibujo a la izquierda, carge la graficador Excel de sumas de Riemann.

Integral de una suma de funciones.