1.4 Aplicaciones: Optimización de funciones de dos variables que representen gastos, ingresos o utilidad.

Función de Costo Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma Costo = Costo variable + Costo fijo en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma C(x) = mx + b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

Ejemplo El costo diario a su compañía de imprimir x novelos ciencia ficción en rústica es C(x) = 3.50x + 1200 dólares. Note que C es medido en dólares, y x es medido en libros (novelos ciencia ficción en rústica, más precisamente). El costo marginal es m = 3.5, y el costo fijo es b = 1200.

Función de ingreso El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función lineal(x) = mx y el precio de venta m se puede también llamar ingreso marginal.

Ejemplo Suponga que su casa editorial vende libros ciencia ficción rústicos a una detallisa para $6.50 por libro. Entonces I(x) = 6.50x dolares. El ingreso marginal es m = $6.50 por libro.

Función utilidad La utilidad es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad marginal. La utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la siguiente formula: Utilidad = Ingreso − Costo U = I − C Si la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida (de $500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir tablas quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta forma, equilibrio ocurre cuando U = 0, o I = C Equilibrio El puno equilibrio es el número de artículos x a lo cual presenta el equilibrio.

Ejemplo Si regresamos al ejemplo de las novelas ciencia ficción, ya tenemos las funciones costo y ingreso: C(x) = 3.50x + 1200 dollars. Costo diario de imprimir x libros I(x) = 6.50x dollars. Ingresos por la venta de x libros

Funciones de dos variables, que representan gastos, ingresos o utilidad.