1.1 Funciones en dos variables.

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación:

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

En consecuencia, la gráfica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es un conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de f corresponde a solo un valor de z, ninguna recta perpendicular al plano x, y puede intersectar a la gráfica de f en más de un punto.

Ejemplo ilustrativo 1: La función f del ejemplo 1 es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tales que:

z=v25- x2 -y2

Por tanto, la gráfica de f es la semiesfera en el plano x y por arriba de este cuyo centro es el origen y tiene radio 5. Esta semiesfera se muestra en la figura 1.

Ejemplo 2: dibuje la gráfica de la función

Sol/: la gráfica de f es la superficie que tiene la ecuación z=x2 +y2. La traza de la superficie en el plano x, y se obtiene al utilizar la ecuación z=0 simultáneamente con la ecuación de la superficie. Al hacerlo resulta x2 +y2=0 la cual representa el origen. Las trazas en los planos xz y yz se obtiene al emplear las ecuaciones z=x2 +y2. Estos trazos son las parábolas z= x2 y z= y2.

Funciones-dos-variables.