El problema es el siguiente:
Dadas dos funciones f y g , encontrar el área
contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .
Para ilustrar el problema y
el procedimiento, observa el siguiente ejemplo.
Utilizaremos el
mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se
aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b]
en n subintervalos de longitud(b-a)/n. En cada
subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.
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1. Evaluamos f(x*) y g(x*) y
formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)).
2. El
área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al
sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del
área entre las curvas.
3. Tomando
el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor
exacto del área buscada.
4. Por
definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en
[a,b].
5. Si g(x)>f(x) en
alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*).
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En
cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de
la diferencia).
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Definición de área entre
dos gráficas:
El área entre las gráficas
de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo [a,b]
está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a,b].
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Enseguida
se calculará el área de la región entre dos curvas.
| Dentro del intervalo (-2,2), las curvas: y=2(1-x2) y y=x2-1 se intersectan en x = -1, 1. f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1 El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4}Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es: 4 + 4 + 4 = 12 |  |
| Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas: y = -x2/3+1 y y = x2/3 se intersectan en x = 1. f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867} Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es:1.6 + 0.15867 = 1.75867 |  |
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