PRESENTACIÓN.

Universidad de Guadalajara

Centro Universitario de los Lagos

Sede: San Juan

Matemáticas II

Claudia Esmeralda Herrera Aquino

211135854

Licenciatura en Administración

Segundo semestre

Miguel Ángel Cadena Pérez

• PRESENTACIÓN:

El curso de Matemáticas II es considerado como uno de los cursos básicos indispensables para la licenciatura de Administración del CULagos, en virtud que proporciona las herramientas cuantitativas necesarias para la toma de decisiones dentro del ámbito de las ciencias económico-administrativas. También permite la posibilidad de modelar y brindar sustento a los fundamentos teóricos de dichas disciplinas. En este contexto, el curso pretende instruir al estudiante en el conocimiento del cálculo integral aplicado a las áreas económico-administrativas, con el fin de proporcionarle una herramienta útil para el mejor desempeño de sus labores profesionales. Al concluir el curso, el estudiante tendrá la capacidad de utilizar los conocimientos adquiridos en la solución de problemas concretos. El objetivo de esta materia es consolidar bases matemáticas sólidas que permitan que el alumno incursione en herramientas cada vez más complejas que le permitan el análisis de fenómenos tanto económicos como administrativos desde una perspectiva más objetiva.

• OBJETIVO GENERAL:

El estudiante adquirirá destreza en el manejo de técnicas y procedimientos para la solución de problemas. Hará uso de lenguaje matemático, de la sistematización de información y de las formas de representación gráfica y analítica.

Manejará los conocimientos, métodos y algoritmos matemáticos establecidos en los programas, tanto básicos como auxiliares para abordar los contenidos de otras materias. Elaborará y usará modelos matemáticos en la resolución de problemas de optimización de recursos y en el análisis económico de problemas en el ámbito de las empresas.

Derechos de autor del libro que utilizamos en la materia:

Jagdish C. Arya Robin W. Lardner Víctor Hugo Ibarra Mercado. ( 1993). MATEMÁTICAS APLICADAS a la administración y a la economía. EN MEXICO,Estado de Mexico: Pearson Education.

MÓDULO 1. Introducción al cálculo en dos variables.

Objetivo Particular del Periodo.

El alumno comprenderá los conceptos básicos del cálculo diferencial en varias variables, así como la resolución de problemas en el entorno económico-administrativo, enfatizando aquellos del área de optimización de recursos. 

1.1 Funciones en dos variables.

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación:

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

En consecuencia, la gráfica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es un conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de f corresponde a solo un valor de z, ninguna recta perpendicular al plano x, y puede intersectar a la gráfica de f en más de un punto.

Ejemplo ilustrativo 1: La función f del ejemplo 1 es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tales que:

z=v25- x2 -y2

Por tanto, la gráfica de f es la semiesfera en el plano x y por arriba de este cuyo centro es el origen y tiene radio 5. Esta semiesfera se muestra en la figura 1.

Ejemplo 2: dibuje la gráfica de la función

Sol/: la gráfica de f es la superficie que tiene la ecuación z=x2 +y2. La traza de la superficie en el plano x, y se obtiene al utilizar la ecuación z=0 simultáneamente con la ecuación de la superficie. Al hacerlo resulta x2 +y2=0 la cual representa el origen. Las trazas en los planos xz y yz se obtiene al emplear las ecuaciones z=x2 +y2. Estos trazos son las parábolas z= x2 y z= y2.

Funciones-dos-variables.

1.2 Derivadas parciales.

En matemáticas, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Donde  es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud  es función de diversas variables (x, y, z), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función  en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Introducción

Supongamos que  es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso;

Un gráfico de z = x² + xy + y². Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x.

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.

Este es un corte del gráfico de la derecha donde y = 1.

Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:

en el punto (1, 1, 3), o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."

Derivada_parcial.

1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables.

Cálculo de los Máximos y Mínimos de una Función de dos Variables

Valor Máximo Relativo

Es el punto en que la derivada de una función se anula y cambia su valor de positivo a negativo. Es decir la función pasa de creciente a decreciente.

                                                 

Valor Mínimo Relativo

Es el punto en que la derivada de una función se anula y cambia su valor de negativo a positivo. Es decir la función pasa de decreciente a creciente.

Máximos_mínimos.

1.4 Aplicaciones: Optimización de funciones de dos variables que representen gastos, ingresos o utilidad.

Función de Costo Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma Costo = Costo variable + Costo fijo en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma C(x) = mx + b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

Ejemplo El costo diario a su compañía de imprimir x novelos ciencia ficción en rústica es C(x) = 3.50x + 1200 dólares. Note que C es medido en dólares, y x es medido en libros (novelos ciencia ficción en rústica, más precisamente). El costo marginal es m = 3.5, y el costo fijo es b = 1200.

Función de ingreso El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función lineal(x) = mx y el precio de venta m se puede también llamar ingreso marginal.

Ejemplo Suponga que su casa editorial vende libros ciencia ficción rústicos a una detallisa para $6.50 por libro. Entonces I(x) = 6.50x dolares. El ingreso marginal es m = $6.50 por libro.

Función utilidad La utilidad es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad marginal. La utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la siguiente formula: Utilidad = Ingreso − Costo U = I − C Si la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida (de $500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir tablas quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta forma, equilibrio ocurre cuando U = 0, o I = C Equilibrio El puno equilibrio es el número de artículos x a lo cual presenta el equilibrio.

Ejemplo Si regresamos al ejemplo de las novelas ciencia ficción, ya tenemos las funciones costo y ingreso: C(x) = 3.50x + 1200 dollars. Costo diario de imprimir x libros I(x) = 6.50x dollars. Ingresos por la venta de x libros

Funciones de dos variables, que representan gastos, ingresos o utilidad. 

Derechos de autor del módulo 1.

Módulo 1 Academatica. (13 ago. 2010). Funciones de Varias Variables Parte 1. 29711/2015, de Formación Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=P8QHsN-dS1s

1.1Marlon fajardo molinares. (4 de junio de 2009). Funciones de dos y más variables, dominio y rango, y curva de nivel Leer más: http://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-rango-curva-nivel/funciones-dominio-rango-curva-nivel.shtml#ixzz3t91v9Mpj. 29/11/2015, de “Ciencia, Tecnología y Sociedad (CTS)”. Sitio web: http://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-rango-curva-nivel/funciones-dominio-rango-curva-nivel.shtml#ixzz3rgnf3OYT

1.2Weisstein, Eric W.. (2007). Derivada parcial. 29/11/2015, de MathWorld Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial

1.3Victor Cueva J.. (2005). Cálculo de los máximos y mínimos relativos. 29/11/2015, de dervor Sitio web: http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html

1.4Stefan Waner. (diciembre 2009). Modelos de costo, ingresos, y utilidades. 29/11/2015, de Funciones y modelos Sitio web: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorialsf0/framesF2A.html

Resumen del módulo 1.

Durante este módulo 1 aprendí el cálculo de dos variables, fueron diferentes métodos para resolver diversos ejercicios, pero en esta unidad realizamos los métodos y también pusimos en práctica lo que habíamos visto durante el semestre pasado sobre las gráficas para ello ya tenía conocimiento de estos temas y se me facilito este tema.

Fue muy comprensible esta unidad porque los métodos a desarrollar fueron muy fáciles y te apoyabas mucho en las gráficas, sé que cada ejercicio se puede desarrollar de otras maneras, el tema que más se me facilito en esta unidad es el tema de los máximos y mínimos relativos, por sus gráficas y creo que esto me sirve mucho de apoyo.

MÓDULO 2. Integración.

Objetivo Particular del Periodo.

El alumno entenderá el concepto de integral y su relación con la derivada. Resolverá problemas de aplicación dando énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico-administrativas tales como: Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.

2.1 Antiderivada.

Una antiderivada de una función f(x) es una función cuya derivada es f(x).

Ejemplos

• Pues la derivada de x²+4 es 2x, una antiderivada de 2x es x²+4.
• Pues la derivada de x²+30 es 2x también, una otra antiderivada de 2x es x²+30.
• En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x²-49.
• En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x² + C, donde C es cualquier constante (positiva, negativa, o cero)

Cada antiderivada de 2x tiene la forma x² + C, donde C es constante.

P Pues la derivada de x⁴+C es 4x^3.

Antiderivada.